前置知识

全微分公式（Total Differential）：

对于单变量的导数，我们有：

f(x+Δx)≃f(x)+f′(x)Δxf(x+\Delta x)\simeq f(x)+f^\prime(x)\Delta x

那么：

f(x+Δx)−f(x)≃f′(x)Δxf(x+\Delta x) -f(x) \simeq f^\prime(x)\Delta x

从而：

df=f′(x)dx\mathrm{d}f =f^\prime(x)\mathrm{d}x

对于二元变量的导数，我们有：

f(x+Δx,y+Δy)≃f(x,y)+δfδxΔx+δfδyΔyf(x+\Delta x, y+\Delta y)\simeq f(x,y)+ \frac{\delta f}{\delta x} \Delta x +\frac{\delta f}{\delta y} \Delta y

也就是对于函数z=f(x,y)z=f(x,y)，我们有：

dz=fxdx+fydy\mathrm{d}z=f_x \mathrm{d}x + f_y \mathrm{d} y

隐函数微分公式：

假设一个函数满足隐函数存在定理，也就是其可以表示成为：

F(x,y)=CF(x,y)=C

根据全微分公式，得：

dF=Fxdx+Fydy=0\mathrm{d}F=F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d} y=0

从而：

Fxdx=−FydyF_x \mathrm{d}x=-F_y\mathrm{d}y

从而：

dydx=−FxFy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}

证明

假设我们有一个曲面函数：

z=f(x,y)z=f(x,y)

这个函数在高度cc处的等高线方程为：

f(x,y)=cf(x,y)=c

该等高线任意一点的切线斜率为dy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}x，代入隐函数微分公式，那么其法线的斜率即为：

−dxdy=fyfx-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{f_y}{f_x}

又因为梯度为fxi+fyjf_x i+f_yj，其方向的斜率为：

fyfx\frac{f_y}{f_x}

可以发现两者相等，也就是两者有着相同的方向。