1. 为什么全微分等于所有偏微分分量的和？

   微分的根本思想在于以直代曲，线性逼近。对于一维的情况，是以直线代替曲线，也就是$\mathrm{d}y=f^{\prime}(x)\mathrm{d}x$；对于多维的情况，是以平面代替曲面，也就是多个分增量的相加，以二维形式则为$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$。

2. 假设$z=f(x,y(x))$，那么$\frac{\partial z}{\partial x}$，$\frac{\partial f}{\partial x}$与$f_x$的区别在于？

   后两者是相同的，当复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量时，后两者和前者是不同的。前者考虑了函数的复合关系，也就是$y(x)$，而后者仅仅把$y$当作一个独立的符号来考虑。在此例中，$\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y=f_x\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x$，从而$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x+f_yy^{\prime}$。

3. 在多元复合函数求导中，对于变量$x_i$的导数为什么等于不同路径导数之和而不是其它（e.g., 积）？

   这点原因与第一个问题（为什么全微分等于所有偏微分分量的和？）相同。假设$u=f(x(t),y(t),z)$，因为全微分$\mathrm{d}u=\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y +\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z=\frac{\partial f}{\partial x} x^{\prime}\mathrm{d}t + \frac{\partial f}{\partial y}y^{\prime}\mathrm{d}t + \frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z$，同时除以$\mathrm{d}t$可得$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x} x^{\prime} + \frac{\partial f}{\partial y}y^{\prime}$，可见对于变量$t$的不同路径的导数之和应该相加起来才能等于对于$t$的导数。