Group

Theorems

定理1

设$f$是群$G_1$到$G_2$的满同态，$N=\ker f$，则：

1. $f$建立了$G_1$中包含$N$的子群与$G_2$中子群间的双射；
2. 上述双射把正规子群对应到正规子群；
3. 若$H \vartriangleleft G_1, N \subseteq H$，则$G_1/H \simeq G_2/f(H)$。

对于1.的证明：

令$\Gamma$表示$G_1$中包含$N$的子群的全体，$\Sigma$表示$G_2$的子群的全体，作映射：

$$\phi:\Gamma \rightarrow \Sigma \\ H \mapsto f(H)$$

首先证明$f(H)$是一个群。设$\forall a,b \in H$,

$$\begin{aligned} f(a)f(b)^{-1} &= f(a)f(b^{-1}) \\ &= f(ab^{-1})\in f(H) \end{aligned}$$

所以$f(H)$是一个群。

由于$f$是一个群$G_1$到$G_2$的满同态，显然$\phi$也是一个满映射，下面证明是一个单射。假设$H_1 \neq H_2, f(H_1)=f(H_2)$，g故存在$b \in H_2, b \notin H_1, a \in H_1$使得：

$$f(a)=f(b)$$

从而

$$f(ab^{-1})=f(a)f(b^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=f(a)f(a)^{-1}=e_2$$

从而$ab^{-1}\in N \subseteq H_1$，因为$a\in H_1$，故$a^{-1}\in H_1$，故$b^{-1}\in H_1a^{-1}=H_1$，故$b\in H_1$，这与假设不符，所以为单射。

综合便知为双射。

对于2.的证明：

即证明$\forall f(a)\in G_2, f(h) \in f(H),f(a)f(h)f(a)^{-1} \in f(H)$，因为：

$$f(a)f(h)f(a)^{-1}=f(a)f(h)f(a^{-1})=f(aha^{-1})$$

$aha^{-1} \in H$，故$f(aha^{-1}) \in f(H)$，故$f(H)$仍旧为正规子群。反推回去，当$f(H)$为正规子群时，$H$也为正规子群，证毕。

对于3.的证明

由上知$f(H) \vartriangleleft G_2$，作对应关系：

$$\phi:G_1 \rightarrow G_2/f(H)\\ a \rightarrow f(a)f(H)$$

由于

$$\phi(ab)=f(ab)f(H)=f(a)f(b)f(H)=f(a)f(H)f(b)f(H)=\phi(a)\phi(b)$$

故为$\phi$为从$G_1$到$G_2/f(H)$的同态。

又$\forall h \in H, \phi(h)=f(h)f(H)=f(H)=e_2$，故$H=\ker \phi$，根据同态基本定理，$G_1/\ker \phi$同构于$G_2/f(H)$，即：

$$G_1/H \simeq G_2/f(H)$$

得证。

Ring

Definitions

主理想（Principle Ideal）

所有$R$中包含$A$的理想之交仍然为$R$的理想，称为由$A$生成的理想，记为$\langle A \rangle$，它是$R$中包含集合$A$的最小理想。当$A$只包含一个元素$a$时，记为$\langle a\rangle$，称为由$a$生成的主理想。

当$R$为交换幺环时，则$\langle A\rangle$可以写成如下：

$$L=\{ \sum_{i-1}^nx_ia_i | n \in N,x_i \in R, a_i \in A \}$$

Theorems

定理1

$R$是交换幺环，证明$R$是一个域当且仅当${0}$是$R$的极大理想。

证明 $\Leftarrow$

Let us now suppose that ${ 0}$ is a maximal ideal of $R$. Let $x$ be any nonzero element in $R$.

Then the ideal $\langle x\rangle={rx|r\in R }$ generated by the element $x$ properly contains the ideal $\langle 0 \rangle$. Since $\langle 0\rangle$ is a maximal ideal, we must have $\langle x\rangle=R$.

Since $1\in R$, there exists $y\in R$ such that $1=xy$. This implies that the element $x$ is invertible. Therefore any nonzero element of $R$ is invertible, and hence $R$ is a field.

Field