前置知识

全微分公式（Total Differential）：

对于单变量的导数，我们有：

\[f(x+\Delta x)\simeq f(x)+f^\prime(x)\Delta x\]

那么：

\[f(x+\Delta x) -f(x) \simeq f^\prime(x)\Delta x\]

从而：

\[\mathrm{d}f =f^\prime(x)\mathrm{d}x\]

对于二元变量的导数，我们有：

\[f(x+\Delta x, y+\Delta y)\simeq f(x,y)+ \frac{\delta f}{\delta x} \Delta x +\frac{\delta f}{\delta y} \Delta y\]

也就是对于函数$z=f(x,y)$，我们有：

\[\mathrm{d}z=f_x \mathrm{d}x + f_y \mathrm{d} y\]

隐函数微分公式：

假设一个函数满足隐函数存在定理，也就是其可以表示成为：

\[F(x,y)=C\]

根据全微分公式，得：

\[\mathrm{d}F=F_x \mathrm{d}x + F_y \mathrm{d} y=0\]

从而：

\[F_x \mathrm{d}x=-F_y\mathrm{d}y\]

从而：

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{F_x}{F_y}\]

证明

假设我们有一个曲面函数：

\[z=f(x,y)\]

这个函数在高度$c$处的等高线方程为：

\[f(x,y)=c\]

该等高线任意一点的切线斜率为$\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$，代入隐函数微分公式，那么其法线的斜率即为：

\[-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{f_y}{f_x}\]

又因为梯度为$f_x i+f_yj$，其方向的斜率为：

\[\frac{f_y}{f_x}\]

可以发现两者相等，也就是两者有着相同的方向。